高数就如同一棵永远望不到头的高高在上的🌳... 让人望而却步...

【高等数学】期末不挂科复习笔记

还是那句话，猴博士yyds 准备做三张前几年的卷子来加强复习

空间几何

1、求过三点的平面方程

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带入三点的坐标计算即可

2、判断面与面，面与向量的关系

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3、已知面过一点和其法向量，求面

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一般平面的法向量不会直接给，要自己算

4、求点到面的距离

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5、求两个面的交线方程

直接写就完事了

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6、线与线、线与面的关系

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注意：第四个点是叉乘

7、已知线过一点和其方向向量，求线

带入公式就完事了

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8、求点到线的距离

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9、 求xyz=t形式的曲线在某点处的切线与法平面

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10、求xyz写在一切的曲线在某点处的切线和法平面

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11、求曲面在某点的切平面和法线

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偏导

1、多元函数求偏导

有手就行

对x求偏导就是只把x当未知数

其他同理

2、求多元函数的二阶偏导

求二次偏导即可

3、求多元复合函数的偏导

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4、多元隐函数的偏导

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全微分

1、多元函数的全微分

具体看有无x和y，就看Z的等式中有几个未知数。如果有xyuv，那么就求4个偏导

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2、多元复合函数的全微分

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最后记得化简

3、已知全微分，求未知数

两个关键公式

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4、多元函数求极值

解题方法

B^2 - AC > 0 无极值点

B^2 - AC = 0 不确定极值点

B^2 - AC < 0 有极值点

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例题

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-ohHzkaA7-1624704896138)(https://gitee.com/Awoodwhale/blogimg/raw/master/img/image-20210624094129918.png)]

如果求极大值就直接把极大值点的数据带入即可

5、多元隐函数求极值

一样的步骤

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6、多元函数求最值

求一个区间的最大值和最小值

1.求出两个偏导结果为0的解

2.找出定义域的边界

3.将1和2的解和边界带入原函数，求出结果

4.若有的结果是式子，则求出这个式子的最大取值和最小取值

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7、填空选择的6句话

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空间向量

0、前置知识

向量是由 I J K 三个向量系数表示的

image-20210624101103731

1、求向量的长度

向量的长度等于三个系数的平方的和的开根号

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2、向量的点乘

就是 · 乘，x1x2+y1y2

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3、求向量间的夹角

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4、求一个向量在另一个向量方向上的投影

根据下面的公式即可

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5、向量垂直

两个向量点乘为0，那么这两个向量垂直

6、向量的叉乘

在前面的在第二行，后面的在第三行

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叉乘的重要性质

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根据这个性质可能这样出题

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7、向量平行

（一般都是由成比例这条性质来写题目的）

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image-20210624102642707

用叉乘的性质来做这题

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用成比例的性质来做这题

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二重积分

1、计算dxdy格式的二重积分

1.把未知数集中到后边

2.计算后半部分的积分

3.将计算结果带入前半部分中间

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2、交换积分次序

1.把未知数集中到后边

2.坐标系中画出积分区域

3.转换

4.写出交换后的结果（抹掉上下边界，dx和dy互换位置）

例1：

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-urNYD7cH-1624704896158)(https://gitee.com/Awoodwhale/blogimg/raw/master/img/image-20210624105723938.png)]

（一定要画图！！！）

例2：

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-a2AaZ2X5-1624704896158)(https://gitee.com/Awoodwhale/blogimg/raw/master/img/image-20210624110141846.png)]

3、计算||do格式的二重机房

1.画出积分区域

2.用形式表示

3.保留被积函数，将o改成dxdy

4.计算出结果

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-AGby8sxL-1624704896159)(https://gitee.com/Awoodwhale/blogimg/raw/master/img/image-20210624114319418.png)]

4、积分区域与圆有关的二重积分

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改成极坐标形式即可快速求出

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5、积分区域对称的二重积分

利用对称性质

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三重积分

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1.Ax+By+Cz+D=0 的形式

2.上表面和下表面的式子 z = ？

3.求初在xoy面的投影

4.计算二重积分即可

（一定要画图！！！）

曲线积分

1、参数方程求曲线积分

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[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-44u2fjNf-1624704896163)(C:\Users\木鲸\AppData\Roaming\Typora\typora-user-images\image-20210625113744982.png)]

2、y=y（x）求曲线积分

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3、利用性质计算曲线积分

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4、参数方程的曲线积分进阶

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5、y=y（x）求曲线积分进阶

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经典的圆弧＋线段的积分

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6、利用性质求曲线积分进阶

性质1：

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-r8fd0c6f-1624704896168)(https://gitee.com/Awoodwhale/blogimg/raw/master/img/image-20210625115327790.png)]

性质2（格林公式）：

逆时针为正方向

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性质3（格林公式）：

顺时针为逆方向

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曲面积分

1、z = z（x，y）

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Dxy是在xoy平面上的投影

表示为z = ？的形式

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2、x = x（y，z）

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Dyz是youz平面上的投影

image-20210625205022002

3、y = y（x，z）

image-20210625205109114

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Dxy是xoz平面上的投影

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4、计算某函数关于yz的积分

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外侧、内测决定看到看不到

看到就是正号

看不到就负号

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image-20210626133749122

可能是有一部分看的到，有一部分看不到

这时候需要将积分拆分成两个或者多个部分

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5、计算某函数关于xy的积分

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6、计算某函数关于xz的积分

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敛散性

1、正向级数

正项级数：

1、多项相加，都是正数

2、都有一定规律

判断方法：

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例题：

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2、交错级数

image-20210626143148929

例题：

image-20210626143156369

3、绝对收敛/条件收敛

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例题：

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幂级数

1、已知幂级数在某点收敛/发散，判断其在另一点的敛散性

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例题：

image-20210626143743058

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2、求幂级数的收敛域/收敛区间

比值审敛法 ：

un就是幂函数整体

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书上方法：

An是x的n次方的系数

收敛半径 = An/An+1

然后将边界带入

例题：

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3、求幂级数的收敛半径

书上方法：

An是x的n次方的系数

p = An+1/An

R = 1/p

所以收敛半径：

R = An/An+1

比值审敛法 ：

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例题：

image-20210626150844985

4、求幂级数在收敛域内的和函数

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例题1：把n除在下面

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例题2：把n乘在前面

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最后必须让Vn中没有n被除或乘了

如果出现了Vn中还有n

那么再次尝试求导或积分

如果消不去使用其他方法（比如通过其他的和函数而来）

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5、展成幂级数

给一个函数，展成幂级数

1、设a = 幂级数的要求，用a替换函数里的x

2、对照表里的公式，将函数展开

3、用幂级数的要求替换回a

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例题：

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如果出现多个种类的幂级数，将他们相加减即可

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