【概率论与数理统计】期末不挂科复习笔记
总结：
概率论与数理统计期末复习笔记涵盖了条件概率、全概率、贝叶斯公式、分布函数与概率密度、二维随机变量、边缘分布、期望与方差、协方差、三大分布（卡方分布、t分布、F分布）、矩估计、最大似然估计、区间估计以及假设检验等知识点。
笔记强调了复习时应首先查看老师PPT和猴博士的内容，确保对概念有清晰理解。
提供了具体公式和例题，包括计算期望、方差、协方差、区间估计和假设检验的置信区间等。
强调了解题步骤和注意事项，如计算置信区间时的标准化公式、t检验法中的拒绝域问题、以及卡方分布和t分布的性质。
鼓励通过做题和查阅教材来巩固复习内容，确保在期末考试中能够应用所学知识。
【概率论与数理统计】期末不挂科复习笔记
只能说最好先看看老师的ppt，在看看猴博士就全懂了~
第一章（条件概率、全概率、贝叶斯公式）
1、无放回类题目
无放回，直接用C解
2、有放回类题目
有放回，使用（n1+n2)!/n1!*n2!然后乘上每种的概率
3、需要画图的题目
4、条件概率
A发生的前提下，B发生的概率
5、全概率公式
所有概率的总和
6、贝叶斯公式
贝叶斯其实是条件概率反过来求。其实就是已知结果求原因
可能和全概率公式结合考点，通过上一篇的P(有客车发生故障)= 0.0084来计算贝叶斯这一问。
第二章（分布函数与概率密度）
1、已知Fx(X)与fx(X)中的一项，求另一项
Fx是分布函数，fx是概率密度
小fx是大Fx求导出来的，同理可以通过小fx求积分来算大Fx
Fx求导得到fx
fx求积分得到Fx
2、已知Fx(X)与fx(X)中的一种，求P
已知分布函数Fx，求概率
已知概率密度fx，求概率
注意：P(a<X<b)和P(a<=X<=b)是等价的，这个等号不影响
3、Fx(X)或fx(X)含未知数，求未知数
记住Fx(-∞) = 0 Fx(+∞) = 1，概率密度fx(X)在-∞和+∞上的积分为1
Fx分布函数例题：
fx概率密度例题：
4、求分布律
高中题目了属于是，只能说dddd
第三章（分布函数与概率密度2）
1、已知X分布列，求Y分布列
替换算就完事了
2、已知Fx(X)了，求Fy(Y)
也是带入替换
- 把X换成什么什么Y
- 替换Fx(X)中的x结果为Fx(?Y)
- 判断y中是否有负号
如果是带有负号，那么就这样：
3、已知fx(X)，求fy(Y)
同样的套路
- 写出x等于什么什么y
- 用什么y替换fx(X)中的x，结果为fx(?y)
- 令fy = (?y)' * fx(?y)
- 判断?y中是否有负号，如果有就是求得的答案的相反数
第四章（六大分布）
首先给出各种分布的分布律、概率密度、E(x)、D(x)
1、符合均匀分布，求概率
2、符合泊松分布，求概率
lambda是参数，x是某某次数
如果是这样的，千万不要用1-P(X=6)这种，要一个一个算！
3、符合二项分布，求概率
4、符合指数分布，求概率
5、符合正态分布，求概率
正态分布还是很重要的，后面也会经常用到标准化公式（x-u/o）
一定要记住fai(0) = 0.5
6、正态分布图像
1.面积表示概率，整个正态分布图像的总面积为1
2.图像关于u对称
3.o越小，图像越陡
看陡峭
7、各种分布的符号
第五章（二维随机变量）
1、已知二维离散型分布律，求？？？
离散型的就看表就好咯
例如：
查表：
作表：
穷举：
2、已知二位离散型分布律，判断独立性
如果满足p(xy) = p(x) * p(y)，那么相互独立
例1：
我们只需要验证每一个p(xy) = p(x) * p(y)，就可以验证独立性
例2：
因为独立，所以
因为所有的概率是1，所有我们求出一个a就可得到另一个b的概率
3、已知F(x,y)求f(x,y)
F(x,y)是联合分布函数
f(x,y)是联合概率密度
例如：
已知f(x,y)求F(x,y)
- 找出f(x,y)不等于0时x的范围和y的范围
- 计算结果
- 带入计算
- 区域
例题1：
例题2：
5、已知F(x,y)求P
记住公式然后带入
加一点变形：
6、已知f(x,y)求P
注意解题步骤，求范围再带入求更细的范围，再带入二重积分中
例题1：
难一点的例题2：
7、求F(x,y)或f(x,y)中含有的未知数
记住下面的式子
8、求均匀分布的f(x,y)与P
记住式子：
例如：
第六章（边缘分布）
1、求边缘分布函数
记住如下公式：
例如：
带入公式即可求解
2、求边缘密度函数
F(X,Y)是边缘分布函数
fx(X),fy(Y)是边缘概率密度
有公式：
fx(X) = f(x,y)dy在y的无穷界限上的积分
fy(Y) = f(x,y)dx在x的无穷界限上的积分
例题：
3、判断连续型二维变量的独立性
F(x,y) = Fx(X) * Fy(Y)那么X、Y互相独立
f(x,y) = fx(X) * fy(Y)那么X、Y互相独立
这种题目带入验证就可以了
先求出 fx(X) 和 fy(Y)带入计算验证就OK了
如何求出 fx(X) 和 fy(Y)在上一个题型说了
例题：
4、一直f(x,y),Z=X+Y,求fz(Z)
记住关键公式：（卷积公式）
例题：
记得分类讨论就好啦
5、已知f(x,y),Z=x/y,求fz(Z)
记住公式：
例题：
解法和上题一致，就是公式使用不同
6、已知f(x,y)，且X,Y相互独立，Z=max(X,Y),求Fz(Z)
记住一个公式：Fz(Z) = Fx(Z)*Fy(Z)
7、已知f(x,y)，且X,Y相互独立，Z=min(X,Y),求Fz(Z)
就是和上面的题目的公式不一样：Fz(Z)=1-[1-Fx(Z)]*[1-Fy(Z)]
第七章（期望与方差）
1、求离散型的期望E(x）
简单题，高中方法求期望就好了
例题
2、求连续型的期望E(x)
连续型的期望公式：E(x) = xf(x)dx在无穷上求积分
公式如下：
例题：
3、已知Y=g(x),求E(Y)
公式如下：
其实也很好理解，之前的连续性E(x)=xf(x)dx求积分，那么带入下面的Y=g(x)=x，也就是得到xf(x)dx
离散型的例题：
连续型的例题：
4、求方差D(x)
记住两个公式（主要是第二个D(x)=E(x2)-[E(x)2]
例题1（离散型）：
例题2（连续型）：
5、根据E(x)、D(x)的性质进行复杂运算
看表：
例题：
6、E(x)、D(x)与各种分布的综合题
各种分布的公式：
例题1：（二项分布）
例题2：（泊松分布）
第八章（协方差）
1、Cov、ρxy、D相关类题目
开背：
例题1：
例题2：
2、利用切比雪夫不等式求概率
有公式：
例题:
3、多项独立同分布，求总和怎样的概率
还是看公式：
例题1:
例题2：
第九章（三大分布)
1、常用统计量
①样本均值 
②样本k阶矩
③样本方差
④样本标准差
⑤样本k阶中心矩
注意B2和S2的区别（一个是1/n-1，一个是1/n）
2、三大分布
分别是χ2分布（卡方分布）、t分布、F分布
χ2分布有可加性、Ex=n、Dx=2n
t分布的Ex=0、Dx=n/(n-2)
F分布，上下都是卡方分布
第一章（矩估计）
1、求某一未知参数的矩估计
步骤如下：
例题1：
例题2：
先用公式求出E(x)
然后写出未知数等于多少E(x)的形式
写出实际的E(x)
最后将实际的E(x)带入到未知数方程中，得出答案
2、求两个未知参数的矩估计
步骤如下：
例题1：
书上例题
- 算出E(x)和E(x2)
- 写出未知数等于?E(x)+?E(x2)
- 根据给出的样本求出实际的E(x)和E(x2)
- 求出未知数就是矩估计
第二章（最大似然估计）
1、求出某离散型参数的最大似然估计量
步骤如下：
例题1:
写出每个x的分布律
对每个分布取ln
对ln的结果求导
令求导的结果为0，求出未知数
2、求出某连续型参数的最大似然估计量
步骤如下：
和上一类型差不多，这里第一步先求每个fx就可以了
例题1：
- 求出fx1、fx2、fx3...fxn
- 对每个fx求ln
- 对ln结果求导
- 多个求导结果相加要等于0，求出未知数
第三章（区间估计）
区间估计
看表！考点有标准化等
单个正态总体参数的区间估计（老师的ppt）
两个正态总体参数的区间估计（老师的ppt）
一定要记住前面的三个分布！！！
此外，书上p175页也有上图的公式
背完上面的公式我们来看例题~
例题1：
首先看求什么的置信区间，是求μ的，那么就是正态分布标准化公式的那套
其次置信水平为0.95那么1-α=0.95，α=0.05，所以α/2=0.025
并且没有σ，所以我们需要用s来代替σ
因为(n-1)s2/σ2满足t分布，所以有如下的置信区间
将算出的各种值带入求解:
例题2：
首先分析求哪个的置信区间，可以看到求σ的，那么就是套卡方分布那套
置信水平0.95，1-α=0.95，α=0.025
又因为μ没给，就用(n-1)s2/σ2~卡方(n-1)，得到σ2的置信区间：
带入求就好了
注意！！！上图的置信区间是σ2的，我们要求的是σ的，需要根号一下！
答案：
还有可能考μ1-μ2的类型，背表！！！！
第四章（假设检验)
假设检验
和上一章内容有关，假设检验这里就学了一共6个公式
第一种类型——Z检验法：
第二种类型——T检验法：
需要注意的是，我们的原假设尽量是向良好的结果假设。
另外就是拒绝域问题，我们求出来的值在拒绝域之内，就是被拒绝了，就是不符合我们的原假设。在拒绝域之外就是良好的，符合我们的原假设。
例题就看书上的p215页的三道题目就好了